在一个早些时候博客，我为学习数学的意义提出了一个框架。我声称，学习数学至少包括:
- 思考的方式被…
- 思考的习惯，以及理解和使用某些东西的能力……
- 用数学做更大的事情。
思维方式和思维习惯很重要，但很容易被低估。如果你是一名数学老师，你可能会想办法增加课堂对它们的关注。形成性的谈话开场白会有帮助。但首先，让我们确定我们对什么是思维方式和习惯的看法是一致的。
理解数学思维的方式和习惯
这里有一个快速刷新你记忆的思维方式的例子。想象一下这个问题:“从1941年12月7日到2021年12月7日有多少年?”花点时间思考一下答案，以及你是如何得出答案的。
你试过吗?你回答这个问题可能没有困难，而且你可能用的是思维方式而不是行动方式来寻找答案。也就是说，你可能认为这些数字是有意义的数量，你需要如何比较年份来找到它们之间的差距，而你需要的比较是一种减法问题。
也许您还记得，不用传统的减法算法就可以找到减法问题的答案。例如，你可能把1941年到2000年的数字“加起来”，然后在这个数字上加上21。你可能采用的另一种策略是将问题推后一年，因为你知道在1940年到2020年之间的年份会得到相同的答案，而且数字会更友好。
[M]我们大多数人所接受的数学教学强烈地倾向于做的方法，而很少(如果有的话)强调思考的方法和思考的习惯。
你很可能能够将许多概念联系起来，并有一些习惯(或实践)，帮助你意识到程序(做事的方式)将会更低效、不必要，而且可能更容易出错。(你有没有意识到我们借钱却从不还?)思考比较和运算的方法，如减法和加法，使您能够解决数学问题。因此，如果我们真的想让学生理解数学，并能够自己解决数学问题，数学教学就必须超越教学方法。
不仅仅是行动的理由
这和我学习数学的观点有一些重合2008年国家数学顾问团．在那里，该小组声称:“为了让学生学习代数，课程必须同时发展概念理解、计算流畅性和解决问题的能力。关于数学知识这些方面的相对重要性的争论是被误导的。这些能力是相互支持的，每个能力都有助于学习其他能力。”
尽管如此，我认为我在推动一些比概念性理解更重要的东西——因为我想要的目标不只是掌握概念，而是确保这些概念符合深度关联的思维模式。关于每一项的重要性的辩论确实是错误的，因为在某些情况下，程序性方法可能更有效，更不容易出错。如果有人问我，在以每小时34美元的工资工作143个小时后，我会赚多少钱，我可能会随手拿起一支铅笔，快速研究乘法算法。我会利用一种方法。
思考比较和运算的方法，如减法和加法，使您能够解决数学问题。
所以，我不会强调学习的一个方面可能比另一个方面更重要，而是认为每个方面在数学教学中都有自己的位置。然而，我们知道，从历史上看，我们大多数人经历的数学教学都强烈地倾向于做的方式，而很少(如果有的话)强调思考的方式和思考的习惯。因此，在我们的专业论述和实践中加强这些领域是非常必要的。
理解学生的思维
虽然我们倾向于按照年级标准进行数学教学，但数学思维方式是持久的，超越了年级的水平。六年级的学生在做分式除法时，仍然应该使用早年培养的除法思维方法。毕竟，分数除法还是除法。这不是什么新东西。
这是什么意思呢?好吧，想想你在现实生活中诚实地使用过多少次分数除法。小心烹调的连接处。减半食谱吗?这可能不是除以1 / 2，而是乘以1 / 2。为什么这么难?我之所以这么说，是因为老师教的分数除法，常常与思维方式脱节，而只是作为一种操作方式。不加思考的做事会导致一种不连贯的漂亮技能;这都是一个人。
了解学生的思维方式需要有机会倾听他们的思维。它涉及到可以引发这种思考的任务。它还要求你决定听什么为．
假设我们想在七年级学习分数除法。重要的是学生上课时如何思考分数，如何思考运算，尤其是除法，以及如何思考负数。如果我们只关注“逆和乘”的算法，我们就会错过帮助学生看到联系的机会，也会错过进一步加强现有思维方式的方法。
倾听学生对以下问题的回答可以帮助我们更好地理解学生的思维，并为我们的数学教学提供信息:
- 分数是一个数还是两个数?
- 在数学中，除法能为我们做什么?
- 如果不计算，除法的一个含义是什么? 10 ÷ 1/5的含义是什么?
- 如果不计算，除法的一个意义是什么?你能用它来解释(-10)÷ 1/5?
- 在不计算的情况下，描述如何用除法作为比较来估计(-10)÷(-0.3)的值(副本或时间，作为大语言)。
你尝过这些吗?你能回答吗?如果是的话，你是否注意到你在“除法”一集中的答案是一致的?他们让你思考了吗?你能给这些问题带来意义吗?就像你给我关于过去岁月的开场问题带来意义一样?
这样的问题可以在教学的形成空间中很好地发挥作用。我们可以把它们当作挑战自己和学生的机会。它们尊重学生带来的思考，它们可以作为讨论的提示，而不是作为判断对错的竞赛。
了解学生的思维方式需要有机会倾听他们的思维。它涉及到可以引发这种思考的任务。它还要求你决定听什么为．
以上问题来自我们的新数学教学中形成性的对话开场白．在其中，我们概述了培养超越年级水平并随着时间发展的标准意义(BINSS)的大想法。这些bins帮助我们缩小听的范围为．从那里，我们提供几百页的形成性活动和支持，以问题集群分组，以邀请讨论和揭示学生的思考。我们希望这些资源能帮助你养成通过谈论思考的新习惯如何我们正在思考。
