两名数学老师走进一间休息室，开始了一场平易近的、极具数学书呆子范儿的聊天，讨论更深入地了解学生意味着什么。结果呢?这是一段简短的视频，庆祝和揭秘主持一场形成性数学对话在这种讨论中，教师的角色是倾听、探究并揭示年轻数学家头脑中更深层次的概念。
问题中的数学老师?泰德Coe作为NWEA的内容宣传和设计总监，她拥有25年的教师、教授、系主任、管理员和非营利组织董事的经验，以扩大和提升成功地教授和学习数学的意义。基本上，他知道自己在说什么。和斯科特•亚当森他是NWEA专业学习设计团队的内容设计师，是一位屡获殊荣的数学教授，致力于研究关于意义构建和深度推理的数学，重新定义了简单的“正确”概念。他对数学的热情令人生畏;看他的ted演讲！
在一个12分钟的谈话——我们很聪明地记录了这两个数学天才坐下来讨论不崇高的几何证明，而是如何主持形成性的对话，照亮学生理解的广阔网络。看完这个视频后，我想，“我想知道他们会在两个小时而不是12分钟内说什么。”作为一名数学老师，我想知道更多。他们说的“思维方式”和“做事方式”是什么意思?泰德说的“包装标准”是什么意思?我请他们详细说明。换句话说，我倾听并探究他们的概念化。我刚刚是不是主持了一次影响人生的谈话?(不完全是。要了解更多关于如何在数学课堂上进行真正的形成性对话的信息，看看我们的年级级的，有指导的数学形成对话开始．)
首先，你们是怎么坐下来一起讨论形成性的对话的?
泰德:它源于新冠肺炎疫情导致政府关门的想法。好的课程是围绕数学故事展开的，这一点一直都是正确的。思想，就像情节一样，以一种对学习者有意义的方式发展。然而，随着新冠疫情的到来，这些故事情节被打断了。要知道教与学两者都要做而且思考，我们思考如何能够把超越年级水平的关键思维方式带到最前沿。的NWEA数学形成性对话开始(FCS)提供这样做的方法。
你他们都从事数学教育几十年了!你还记得什么时候开始出现形成性对话的概念?
史考特:几十年!差不多有四个!虽然我不记得我第一次遇到“形成性对话”这个词是什么时候(可能是泰德发明的)，但我确实记得在20世纪90年代遇到了倾听学生思考的想法。作为一名高中老师，我参与了一门创新课程，叫做互动数学课程(IMP)期间，我们被鼓励优先考虑学生的思考，而不是老师的指导。这是我第一次听说老师的角色是“侧面的向导”，而不是“舞台上的圣人”。
如果任务有趣、有挑战性、设计良好，学生就会有学习的动力，并有一些有意义的内容来讨论。
20世纪90年代后期，我在我居住的亚利桑那州加入了一个名为马里科帕数学模块的组织。我们开发了一系列15个课程模块，同样侧重于以学生为中心的课堂环境，让学生积极参与理解数学思想和解决现实问题。我们认识到倾听学生想法的重要性，并努力创造活动，以更多地揭示学生的想法。
我敢肯定，在我职业生涯的早期，我认为教学就是告诉学生该做什么的能力。差不多就是这样!现在，我意识到并珍视它的重要性不学生模仿老师，但提供机会，让他们参与思考和推理，可能导致理解。
泰德:斯科特干这一行的时间比我长一点，因为我还不到30岁。我的演变和他的很像，我早期的重点是强调程序——或者“做事的方式”。我想，我的学生在离开我的课堂时，可能会觉得数学很像收集一盒拼图，知道它们放在一起可能会形成一幅很酷的图画，但此刻或多或少只是在叮当作响。
希望形成性的对话一直都在课堂上发挥作用，但我们对这次迭代的愿景是基于数学教育研究人员在试图理解学生思维时向学生提出的问题类型。与FCS的在美国，我们试图创造情境，让老师对自己的学生做同样的事情。我们的重点不是学生是否能“做到”，而是学生如何思考，这揭示了他们如何将不断发展的重要思想联系起来。
形成性谈话的开场白“从一项任务开始。”你能解释一下吗为什么我们从一个任务开始，我们会从什么样的任务开始?
史考特:这里当然有一场哲学上的对话。一方面，有些人可能认为，必须先教学生思想、概念或程序然后当他们从事一项任务时，他们可以自己应用它们。凯尔·皮尔斯和乔恩·奥尔称之为“学前教育”。另一方面，另一些人认为，当学生面对一项有意义的任务时，解决任务中提出的问题所需的重要数学思想可能会出现。
如果任务有趣、有挑战性、设计良好，学生就会有学习的动力，并有一些有意义的内容来讨论。在形成性对话的背景下，该任务允许以下内容:
- 它为学生们有话题可谈奠定了基础。如果你想让学生谈论合理的分母，形成性的对话很快就会陷入死胡同!但丰富的任务可以促进学生的思考，并允许对话。
- 它允许大的数学思想出现，并帮助学生将新的知识与现有的知识联系起来，这促进了更丰富的形成性对话。
以。为例三幕的任务格式由丹迈耶．任务通过视频、图片和/或文字快速呈现，这吸引了学生，让他们说话。当学生决定解决问题需要什么时，这将导致形成性的对话。当学生要求信息时，教师决定提供什么信息。学生们利用新发现或共享的信息，寻求解决方案。在整个过程中，老师倾听学生的思考。
泰德:这些任务还可以作为一种参与和组织对话的方式，因为它们将对话定位于年级水平，并以特定的标准为目标。通过这种方式，我们希望教师能够看到与课程工作的直接联系。然而，这种紧密的一致性是短暂的，因为我们不仅关注单一的标准，而且还关注围绕该领域相关的大想法的多种类型的思考。从这个意义上说，我们正试图采取一种宏观的方法。
你们都在讨论“思维方式”与“做事的方法。”一个比另一个更容易评分!作为一名被寄予厚望的老师，有时候探索学生思维中难以量化的领域是令人生畏的。你能给我这样的老师什么建议?
史考特:是的，这是令人生畏的!这很有挑战性!这很难!我们如何评估学生的思维，而不是评估学生反刍算法的能力?让我们看一个例子。
如果要求学生计算8 -(-4)，我们不知道他们理解了什么。相反，我们发现他们是否记得如何做某事。也许学生们记得一个算法，比如“对边相加”，然后写出8 -(-4)= 8 + 4 = 12。如果这就是评估的结束，我们只知道学生知道如何得到正确计算的答案。如果得到正确答案是唯一的目标，那么让学生问Siri:“8减(- 4)等于多少?”
那么，另一种选择是什么?考虑一下这些想法:
- 用芯片模型和数轴模型解释为什么8 -(-4)= 12。
- 写出一个需要计算8 -(-4)= 12来解决问题的真实问题。
- 解释为什么8 -(-4)等于8 + 4。
在评估学生思维方式的项目上，而不是仅仅得到正确答案的项目上，给学生的作业打分是否更困难、更费时?是的!但这有必要吗?是的!当考试的重点是学生的思考时，我们可以问更少的问题，这有助于时间管理。
对我来说，我经常反思我的教学，想知道学生们是否有了完整的数学体验。我说的“满”是什么意思?如果学生主要从事于记忆如何完成一个程序性或计算性的过程，那么这种体验是不完整的。为了充分，这里使用非常广泛的描述，学生应该以我在我的书中所表达的方式来体验数学ted演讲．数学包括:
- 理解问题，提出正确的问题，确定需要什么信息来解决问题
- 能够将情况建模/数学化
- 计算或从事程序性工作(可能涉及计算机)
- 验证、证明、分析和交流结果
不幸的是，许多学生把大量的学习时间花在学习计算或完成程序上——这是计算机可以做的事情。他们很少花时间在其他事情上——那些只有人类才能做的事情!
在评估学生思维方式的项目上，而不是仅仅得到正确答案的项目上，给学生的作业打分是否更困难、更费时?是的!但这有必要吗?是的!
你能解释一下你的意思吗“包装标准”而不是只关注标准手吗?
泰德:它遵循我上面所说的任务中的标准对齐。人们倾向于将注意力集中在单一标准上，但数学的意义远不止于此。数学情节结合了多种思想。你的任务可能是分分数。但这涉及到你对除法的理解以及你如何看待分数。因此，在过去十年中，许多基于标准的工作往往集中在“拆封标准”——这是一项重要的工作——我有时喜欢把FCS看作是“重新包装标准”。所有这些伟大的想法是如何在一个人的头脑中一起工作的?
我很喜欢你说的最后邀请学生分享的问题，“你在想什么?”什么让你不舒服?”你有没有推荐其他谈话后的反思策略——无论是对老师还是对学生?
史考特:我喜欢7道数学考题从弗朗西斯·苏．它们对揭示学生的思维非常有帮助。当然，提示必须进行调整，以满足受众的需求。
也许我们可以让学生们想起Al Cuoco等人在1996年的文章中所做的工作思维习惯:数学课程的组织原则根据研究，学生应该是模式嗅探者、实验者、描述者、修补者、发明家、可视化者和猜想者。问问学生们在FCS期间是否有这些感觉!
泰德:我也喜欢学生反思自己的不和谐点。你可能会问，他们是否意识到，在形成性的谈话中，不同问题的答案彼此不太合适。如果是的话，他们是否想要设定目标来帮助他们更好地理解这些事情?此外，我们可以用FCS来强化这样一个观点，即数学是关于思考的，而不仅仅是关于做的，以及如何可以脆弱和分享我们的思维方式。事实上，这是一种让你变强壮的好方法。
你会给老师们什么建议来建立必要的融洽关系来主持一个富有成效的形成性谈话?
史考特:在学期开始的时候，花点时间使用团队建设任务来做到这一点是值得的。尽早花时间在课堂上建立融洽、信任和良好的关系，让学生有机会挑战，并期望他们参与、分享和挑战彼此。
菲尼克斯太阳队的主教练蒙蒂·威廉姆斯(Monty Williams)说，为了建立信任、融洽和团队环境，他不会让球员出局;他打电话给他们“这一切都是关于设定期望，当你与学生交谈时看着他们的眼睛，赢得信任和尊重，然后让他们对参与数学讨论负责。
泰德:而且，我还要补充一点，真正坚持设计。在那一刻，问题不在于得到正确或错误的答案。这是关于谈论我们如何思考，并加强我们作为教师真正重视的概念思考和…一样多做．
